Нет, не должно. Согласно Закону № 402-ФЗ "О бухгалтерском учете" организации обязаны составлять и представлять годовую бухгалтерскую (финансовую) отчетность в орган государственной статистики по месту государственной регистрации не позднее трех месяцев после окончания отчетного года. При этом исключением являются организации государственного сектора (бюджетной сферы) и Банк России. Для Закона N 402-ФЗ под организациями государственного сектора понимаются, в частности, государственные (муниципальные) учреждения.
Таким образом, у государственного бюджетного учреждения не возникает обязанности представлять бухгалтерскую отчетность в территориальный орган Росстата.