Люди учились считать в течение многих веков, передавая из поколения в поколение свой опыт. Понятие числа возникло задолго до появления письменности. Удивительно, что, несмотря на кажущуюся на первый взгляд простоту, почти все или многие первые инструменты для работы с числами не только дожили до наших дней, но кое-где используются до сих пор[1].
Вначале для счета использовали собственные пальцы, а при больших количествах — камешки, которые складывали в мешок. Кстати, отсюда и произошло слово «калькулятор», «калькулюс» по-латински означает «камень». Затем появились первые счетные приспособления: доски-абаки с фишками, узелки на веревочке, дощечки с зарубками.
Гораздо позже математики и механики изобретали универсальные счетные инструменты, линейки, таблицы, арифмометры, потом — калькуляторы, вычислительные машины, современные компьютеры. Но обо всем по порядку.
Пальцевой счет
Собственная рука стала для человека древнейшим счетным инструментом. Пальцевой счет, или дактилономия, — математические вычисления, осуществляемые человеком с помощью сгибания, разгибания или указывания пальцев рук (иногда и ног). Пальцы рук считаются самым первым счетным инструментом древнего человека с эпохи палеолита. Счет на пальцах широко применялся в древнем мире и используется в настоящее время.
Имена числительные во многих языках указывают, что у первобытного человека орудием счета были преимущественно пальцы. В древнерусской нумерации единицы называются «перстами», десятки — «составами», а все остальные числа — «сочинениями». Кисть руки — «пясть» — синоним и основа числительного «пять».
От пальцевого счета берет начало пятеричная система счисления (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног), а также восьмеричная и двенадцатеричная (сгибы пальцев или фаланги пальцев) и шестидесятеричная системы.
Самыми известными являются: римский, арабский, китайский, японский, английский, континентальный европейский, русский счет.
В спорте (бокс, велоспорт) для наглядности используют пальцевой счет (с демонстрацией руки арбитра) при отсчете времени.
История всевозможных бирж насчитывает несколько столетий, и все это время биржевые жесты были одним из основных средств коммуникации. Этот специальный язык вырос из пальцевого счета. Конечно, у каждой биржи мира есть свои традиции, сформировался особый «лексикон», но некоторые жесты являются универсальными.
«Зарубить на носу»
Издревле употреблялся вид инструментального счета — отметины на деревянном колышке или на дощечке — бирки с зарубками.
В Средние века бирками пользовались для учета и сбора налогов. Бирка разрезалась на две продольные части, одна оставалась у крестьянина, другая — у сборщика налогов. По зарубкам на обеих частях велся счет уплаты налога, который проверяли складыванием частей бирки. В Англии при ликвидации налоговых обязательств крестьян на дворе лондонского казначейства был устроен костер из бирок. Он оказался таким большим, что сгорело здание казначейства, а вместе с ним погиб и вделанный в стену образец английской меры длины, с тех пор англичане не знают точной длины своего фута.
В Древней Руси пользовались бирками, которые носили при себе и ставили зарубки для учета работы и долгов. Бирку называли «носом» (от слова носить). Отсюда возникло выражение «зарубить на носу» — запомнить навсегда. Бирки были в ходу чаще всего в виде палочек или узких дощечек, на которые наносили зарубки. Они служили вспомогательным инструментом счета — зарубки наносились группами по 10 штук, чтобы удобнее было считать в десятеричной системе счисления, или по семь штук — для семеричного счета (для отсчета дней недели), также были долговые расписки — сведения о долге «записывали» на дощечку зарубками. Одна часть хранилась у должника, другая — у заимодавца, после погашения долга дощечки выбрасывали.
Выражения «нарубить на бирку», «зарубить на стенке» свидетельствуют о том, что делались зарубки не только на бирках, но иногда и на деревянной стене избы. Был и долговой столб, свидетельствующий, что земля вскоре уйдет в уплату долга. Именно такой столб в Древней Греции назывался «ипотека».
Клинописные глиняные таблички Шумера
Счет и учет товаров, скота и другого имущества в Древнем Шумере велся на глиняных табличках. Для учета имущества использовали систему глиняных фишек различной формы (токены), при этом каждый токен обозначал один объект (корову, барана). Затем размер и форма токена стали претерпевать изменения, а вскоре на них стали появляться пометки (след пальца, засечки, узнаваемые геометрические формы).
Токены складывались в глиняный контейнер, который запечатывался цилиндрической печатью владельца. Если контейнер содержал информацию о количестве голов скота в стаде, его необходимо было разбить, чтобы провести подсчет находящихся в нем шариков.
Затем на поверхности контейнера вместе с печатью владельца стали появляться отпечатки токенов, содержащихся в конверте. Это позволяло прочитывать информацию, не разбивая его, и затрудняло несанкционированное изменение информации.
Постепенно физические токены исчезли, остались лишь знаки, а контейнеры стали глиняными табличками и одними из первых бухгалтерских документов.
Налоговые расписки на глиняных табличках использовали в Вавилоне. Ссудные договоры банковских домов Вавилона также записывались на глиняных табличках.
Похожую роль долговой расписки в античной Греции и Риме выполняли восковые таблички. В России аналогично использовали бересту, в Азии — пальмовые листья. Похожие учетные записи велись на папирусе, пергаменте и бумаге. Так возникли учетные и бухгалтерские книги.
Абак — счетная доска в древних цивилизациях
Абак — семейство счетных досок, применявшихся для арифметических вычислений, которое появилось в Древнем Вавилоне в третьем тысячелетии до н. э. Это первый известный прибор позиционного (поразрядного) счета. Счетные метки (камешки, косточки) передвигались по линиям или углублениям. Общие принципы инструментов типа абака: разделение счетного поля линиями на полосы и осуществление счета с помощью размещенных на полосах камней или косточек. Камешки обозначали числа, одна бороздка соответствовала единицам, другая десяткам. Если в какой-то бороздке набиралось более 10 камушков, их снимали и один камушек добавляли в следующий разряд. Особый дырявый камушек означал ноль.
В Грецию абак был завезен финикийцами и стал «походным инструментом». В Индии применяли абак, на счетное поле которого насыпали красный песок (пыль). Арабы познакомились с абаком у подчиненных им народов. Римляне усовершенствовали абак, перейдя от деревянных досок, песка и камешков к мраморным доскам с выточенными желобками и мраморными шариками. Ацтеки изготавливали абаки из зерен кукурузы, нанизанных на струны, установленные в деревянной раме.
У римлян камешек называли калькулюс, а счет на абаке получил название калькуляция. И сейчас подсчет расходов называют калькуляцией, а человека, выполняющего этот подсчет, — калькулятором, так же называется современный электронный прибор для счета. Счет с помощью абака у самых разных народов просуществовал многие тысячелетия, когда на смену абаку пришли письменные вычисления.
Суаньпань — китайский абак. Соробан — японский абак
В странах Дальнего Востока распространены восточные аналоги абака — китайский суаньпань и японский соробан.
Суаньпань — китайская разновидность абака (счеты). Впервые суаньпань упоминается в 190 году. Он представляет собой прямоугольную деревянную раму с девятью или более количеством спиц, на которые нанизаны косточки. Перпендикулярно проволочкам суаньпань перегорожен на две части — верхнюю и нижнюю. В верхней части на каждой проволоке нанизано по пять косточек, в нижней — по две. У китайцев в основе счета лежит пятерка. Проволоки соответствуют десятичным разрядам. Методы счета позволяли производить над числами все четыре арифметических действия и извлекать квадратные и кубические корни.
Соробан — японские счеты. Происходят от китайского суаньпаня, завезенного в Японию в Средние века.
Соробан состоит из нечетного количества вертикально расположенных спиц. Каждая спица представляет собой цифру. Обычно их 13 или 21, 23, 27, 31. Большее количество спиц позволяет набирать большие числа. Соробан представляет собой рамку, разделенную перекладиной. В верхней части расположена одна линия косточек, каждая косточка в ней означает «5». Внизу расположены ряды по четыре косточки. Каждая из них обозначает «1». На соробане работают всегда сверху вниз большим и указательным пальцами обеих рук.
Японский соробан, активно используется и сегодня, несмотря на то что уже везде применяются электронные калькуляторы.
В Японии использование соробана является элементом школьной программы обучения счету в младших классах. Школы соробана работают в Южной Корее, Бразилии, Тайване, Лос-Анджелесе, в них счет на соробане популярен как вид развлечения, своеобразный спорт.
Абак Герберта — счет в линиях
Появление и распространение в Европе индийско-арабских цифр относят к заслугам Герберта Орильякского, математика, политика и богослова, ставшего в 999 году папой Сильвестром II. Ему приписывается большая ученость в различных областях — от создания прототипа астролябии, механических часов и гидравлического оргáна, до восстановления и распространения забытого античного абака.
Абак Герберта был изобретен во времена Античности, но Гербертом был усовершенствован и к нему были составлены правила для вычислений. Абак представлял собой гладкую доску, посыпанную голубым песком и разделенную на 30 столбцов, из которых три отводились для дробей, а прочие группировались по три столбца в девять групп, которые сверху завершались дугами. В отличие от древних форм счетной доски в каждый столбец клали не камешки, а нумерованные жетоны, на которых были обозначены девять первых числовых знаков.
Разновидностью абака Герберта была английская доска для счета на линиях. В английском государственном казначействе в качестве счетной таблицы использовалась разделенная на клетки скатерть, покрывавшая стол, на котором производился счет. По клетчатому сукну, которым был покрыт стол заседаний, казначейство называлось Палатой шахматной доски. Клетчатая скатерть служила абаком при вычислениях.
Счет на линиях был известен в России. Он был описан в XV веке. «Счетная мудрость» под названием «счет костьми» (вишневыми или сливовыми косточками). Этим и объясняется замена европейского термина «счет на линиях» русским «счетом костьми». Впоследствии был заменен на русские счеты.
Русские счеты, или «дощаный счет»
Русские счеты — простое механическое устройство, устроенное по типу абака, для выполнения арифметических расчетов. Русские счеты ведут свое происхождение от прибора «дощаный счет», который возник в Московском государстве в XVI веке. Первое известное упоминание счетов встречается в 1658 году, где они называются «счоты».
Счеты состоят из рамы и спиц, на которые нанизаны костяшки, их обычно по 10 штук. Одна из спиц имеет только четыре костяшки. Каждый ряд костяшек представляет собой числовой разряд, который вверх от спицы с четырьмя костяшками возрастает от единиц до сотен тысяч, а вниз — уменьшается от десятых до тысячных. «Набор» числа осуществляется сдвиганием костяшек из правого края прута в левый. Прут, на котором находятся четыре костяшки, использовался для расчетов в полушках. Одна полушка равнялась половине одной деньги, то есть четверти копейки. Соответственно, четыре костяшки составляли одну копейку. Этот прут служит разделителем целой и дробной частей набранного на счетах числа. Максимальное число на счетах составляет 11 111 111,110. С помощью счетов, в пределах их разрядности, можно выполнять все арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление.
Они активно применялись в торговле вплоть до конца XX века. От классического абака счеты отличаются большим числом разрядов каждого числового ряда и конструкцией.
В умелых руках этот нехитрый прибор делает чудеса. Русские специалисты устраивали соревнования и побеждали заморских счетоводов с их сложными механизмами для счета.
До 1980 года обучение пользованию счетами входило в школьную программу CCCР.
«Завязать на память узелок»
Многие народы — китайцы, персы, индийцы, перуанцы — использовали для представления чисел и счета ремни или веревки с узелками. У античного историка Геродота (V в. до н. э.) есть рассказ о том, как персидский царь Дарий, отправляясь в поход на скифов, приказал охранять мост через реку Истер и, завязав на ремне 60 узлов, велел развязывать каждый день по одному и, только развязав все, уходить с поста домой.
Традиция завязывать узелки на память пришла из древности, когда не существовало развитой системы счета и долги одного человека другому обозначались количеством узлов на специальной «долговой веревке».
Связка нитей с узелками появилась в
«Узелковое письмо» знали американские индейцы, индусы, африканские бушмены и австралийские аборигены. В Древней Руси существовали узлы «наузы» — узлы-обереги. Наузы передавали разную информацию: волшебную силу, охраняли от несчастий, лечили больных, сохраняли память, напоминали о долге и важном деле.
Как напоминание о важном деле, долговом счете, данном обещании осталось в русском языке выражение «завязать на память узелок».
Система счетов инков — кипу и юпана
В Империи инков применялось счетное устройство юпана в паре с кипу — узелковым письмом и счетом.
Юпана («счетное устройство») — разновидность абака, использовавшаяся в математике инков. Представляет собой доску из камня с набором прямоугольных ячеек в пять рядов и четыре колонки.
Предполагают, что вычисления на юпане осуществлялись на основе системы счисления Фибоначчи или же с основанием 40. Но вплоть до последнего времени никому так и не удалось разгадать тайну «абака инков», известного как юпана.
Кипу («узел») — это узелковое письмо, мнемоническая и счетная система, которая использовалась еще в III тысячелетии до н. э. Кипу существовали вплоть до 1725 года, однако к этому времени искусство их чтения было фактически утрачено. Кипу — это своеобразная письменность: представляет собой сложные веревочные сплетения и узелки, изготовленные из шерсти верблюдов или хлопка. Информационно значимым было количество нитей (их число в некоторых кипу доходило до 2000 штук), их цвет, длина, число узелков на каждой, способ их плетения, а также различные элементы, которые в нити вплетали, — ракушки или части растений. Значение также имело и положение сделанных на них узелков: чем выше и чем левее — тем выше значение или качество описываемого явления.
Кипу впервые в истории человечества использовали для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта как двойная запись. Известно, что для кипу использовалась десятичная система счисления.
Веревочки и шнуры с узлами были также у индейцев Колумбии, Панамы, в Центральной Америке, Мексике, Полинезии, у жителей Маркизских островов.
Таблица умножения. Палочки Непера. Логарифмические линейки
Потребности человечества в сложных расчетах и вычислениях постоянно росли. Трудности были связаны с умножением и делением многозначных чисел. Это привело к созданию таблицы умножения, а в XVII веке к появлению новых приборов для быстрого счета: палочек Непера и логарифмических линеек.
Одним из первых в мире пособий для вычислений была таблица умножения — таблица Пифагора, где строки и столбцы озаглавлены множителями, а в ячейках таблицы находится их произведение. Старейшая известная таблица умножения обнаружена в Древнем Вавилоне (второе тысячелетие до н. э.), основанная на шестидесятеричной системе счисления. А десятеричная таблица умножения найдена в Древнем Китае (305 г. до н. э.).
Джон Непер[2] создал счетный прибор для умножения в 1617 году. Он получил название «палочки Непера». Этот инструмент для счета похож на подвижную таблицу умножения, где столбцы представляют собой четырехгранные длинные брусочки, в верхнем поле каждого указываются цифры от одного до девяти. Слева располагают брусочек, где также стоят цифры от одного до девяти, обозначающие номер строки. Для удобства записи квадрат каждой строки делился по диагонали, в нижнем правом треугольнике записывались единицы, в верхнем левом десятки. При помощи палочек Непера можно было производить только умножение. Успех прибора был значителен, с появлением новых устройств для счета он был забыт.
В XVII веке была придумана логарифмическая линейка. С ее помощью операции над числами (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корней) заменялись операциями над логарифмами этих чисел.
Современный вид логарифмическая линейка приобрела в 1850 году, когда у нее появился прозрачный бегунок с визирной линией. Известны логарифмические линейки круглые и цилиндрические. С помощью логарифмических линеек производились сложные вычисления при инженерных расчетах.
С
Механические устройства расчетов — арифмометры
Люди издавна старались облегчить себе счет с помощью разных средств и приборов, в том числе механических. С изобретением зубчатых колес появились более сложные устройства выполнения расчетов. В рукописях Леонардо да Винчи
Механические вычислительные устройства — устройства для автоматизации вычислений, которые состоят из механических компонентов — рычагов и шестеренок. Наиболее распространенными примерами являются арифмометры и механические счетчики, которые используют повороты шестеренок для сложения чисел.
Арифмометр — настольная механическая вычислительная машина, предназначенная для точного умножения и деления, сложения и вычитания. Принцип действия арифмометра — поразрядное сложение и сдвиг суммы частных произведений.
Первые механические счетные машины появились еще в XVII веке, но из-за сложной конструкции распространения не получили. В 1877 году Вильгодт Однер[3] в России изготовил первые опытные экземпляры арифмометра, а с 1890 года начал серийное производство на заводе в Санкт-Петербурге. Конструкция оказалась удачной, вскоре производство было налажено и в других странах. Они выпускались в СССР с 1929 года. В руководствах для пользователей прибора подробно описаны приемы выполнения операций, содержатся рекомендации по сокращению числа поворотов ручки прибора. Чаще всего арифмометры были настольными, изредка встречались карманные модели.
Первые ЭВМ и калькулятор
Первой ЭВМ, обладающей всеми компонентами современных машин, была английская машина ЭДСАК, построенная в 1949 году в Кембриджском университете. В запоминающем устройстве этой машины размещаются числа (записанные в двоичном коде) и сама программа.
Под руководством Сергея Алексеевича Лебедева[4] была разработана первая отечественная ЭВМ. МЭСМ выполняла всего 12 команд, номинальная скорость действий — 50 операций в секунду.
Калькулятор (calculator — «счетчик») — электронное вычислительное устройство для выполнения операций над числами или алгебраическими формулами. Латинское слово calculator — «счетчик, счетовод» — происходит от глагола calculo — «считаю, подсчитываю», который, в свою очередь, происходит от слова calculus — «камешек» (камешки использовались для счета). Калькулятор заменил механические вычислительные устройства, такие как абаки, счеты, логарифмические линейки, арифмометры, а также математические таблицы.
В зависимости от возможностей и целей применения калькуляторы делятся на простейшие, бухгалтерские, инженерные (научные), финансовые. В отдельные классы обычно выделяют программируемые калькуляторы, дающие возможность выполнения сложных вычислений по предварительно заложенной программе, а также графические — поддерживающие построение и отображение графиков. Специализированные калькуляторы предназначены для выполнения вычислений в достаточно узкой сфере (статистические, медицинские, специальные финансовые расчеты); такие калькуляторы сейчас чаще реализуются в виде программ для универсальных персональных компьютеров, КПК, планшетов.
[1] Благодарим за предоставленный материал Издательско-полиграфический центр «Финпол».
[2] Джон Нéпер
[3] Вильгодт Теофил Однер
[4] Сергей Алексеевич Лебедев